Chương II - Hàm số bậc nhất

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngoc An Pham

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=abc . Chứng minh:

\(\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}\)

Akai Haruma
20 tháng 11 2018 lúc 0:04

Lời giải:
\(a+b+c=abc\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)

\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=bc(a^2+1)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)

\(\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}=\sqrt{\frac{ac}{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c})\)

\(\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c})\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$


Các câu hỏi tương tự
Ctuu
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Anh Kiệt
Xem chi tiết
Trần Hoàng Phước
Xem chi tiết
Lâm Nhật Bảo Lam
Xem chi tiết
Mai Phạm Nhã Ca
Xem chi tiết
Ẩn Khiết Amity
Xem chi tiết
Việt Hồ Trần
Xem chi tiết
Việt Hồ Trần
Xem chi tiết