§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sengoku

cho a,b,c >0 CMR

\(\frac{a^2}{x}\) +\(\frac{b^2}{y}\) +\(\frac{c^2}{z}\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+z+y}\)

Akai Haruma
27 tháng 5 2019 lúc 21:53

Mình nghĩ CM bằng BĐT Bunhiacopxky đã là chi tiết rồi nhưng nếu bạn muốn chi tiết hơn nữa thì thế này:

Xét hiệu:\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)-(a+b+c)^2\)

\(=a^2+a^2.\frac{y}{x}+a^2.\frac{z}{x}+b^2+b^2.\frac{x}{y}+b^2.\frac{z}{y}+c^2+c^2.\frac{x}{z}+c^2.\frac{y}{z}-(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac)\)

\(=(a^2.\frac{y}{x}+b^2.\frac{x}{y}-2ab)+(a^2.\frac{z}{x}+c^2.\frac{x}{z}-2ac)+(b^2.\frac{z}{y}+c^2.\frac{y}{z}-2bc)\)

\(=(a\sqrt{\frac{y}{x}}-b\sqrt{\frac{x}{y}})^2+(a\sqrt{\frac{z}{x}}-c\sqrt{\frac{x}{z}})^2+(b\sqrt{\frac{z}{y}}-c\sqrt{\frac{y}{z}})^2\geq 0\) với mọi $a,b,c,x,y,z>0$

Do đó:\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\geq (a+b+c)^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\) (đpcm)


Akai Haruma
27 tháng 5 2019 lúc 21:40

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\geq (a+b+c)^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+z+y}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)


Các câu hỏi tương tự
Oh Nguyễn
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
 ๖ۣۜDevil
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết
Lục Khả Vi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết