Question

Cho a,b,c > 0, abc=1

CMR: a-1/b+1 + b-1/c+1 +c-1/a+1 >= 0

Answer 1

Đặt (x3;y3;z3)=(a;b;c)(x,y,z>0)(x3;y3;z3)=(a;b;c)(x,y,z>0)

⇒xyz=1⇒xyz=1

Ta cần chứng minh

1x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1≤11x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1≤1

Áp dụng AM-GM, ta có: x3+y3+1=(x+y)(x2−xy+y2)+xyzx3+y3+1=(x+y)(x2−xy+y2)+xyz

≥(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)≥(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)

⇒1x3+y3+1≤1xy(x+y+z)⇒1x3+y3+1≤1xy(x+y+z)

Tương tự: 1y3+z3+1≤1yz(x+y+z)1y3+z3+1≤1yz(x+y+z)

1z3+x3+1≤1zx(x+y+z)1z3+x3+1≤1zx(x+y+z)

Cộng vế theo vế, ta được

....≤1x+y+z(1xy+1yz+1xz)=1x+y+z.x+y+zxyz=1xyz=1....≤1x+y+z(1xy+1yz+1xz)=1x+y+z.x+y+zxyz=1xyz=1

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1