Do \(a^2+b^2⋮ab\Rightarrow A\) nguyên dương
\(A=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\Rightarrow a^2-Ab.a+b^2=0\) (1)
Do \(a\) nguyên \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm nguyên \(\Rightarrow\Delta=\left(Ab\right)^2-4b^2=b^2\left(A^2-4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge2\)
Mà \(b^2\) là số chính phương \(\Rightarrow A^2-4\) là số chính phương. Đặt \(A^2-4=n^2\) \(\left(n\in N\right)\)
\(\Rightarrow A^2-n^2=4\Rightarrow\left(A-n\right)\left(A+n\right)=4\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A-n=2\\A+n=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=2\\n=0\end{matrix}\right.\)
Hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}A-n=1\\A+n=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{5}{2}\\n=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) không phải số nguyên \(\Rightarrow\) loại
Vậy \(A=2\)
Nói thêm là do \(A+n\) luôn lớn hơn \(A-n\) với A, n là STN nên không cần xét trường hợp \(A+n=1;A-n=4\)
