Question

cho a,b là các số dương thỏa mãn a+b ≤1

CM: M=ab +1/ab ≥17/4

Answer 1

\(M=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2.\sqrt{ab.\dfrac{1}{16ab}}+\dfrac{15}{16.\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

dấu = xảy ra khi x=y=2

tick mik nha

Answer 2

Ta có bất đẳng thức phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương:

\(ab+\dfrac{1}{ab}=16ab+\dfrac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{16ab.\dfrac{1}{ab}}-15.\dfrac{1}{4}=8-\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)