Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\cdot\left(a^2+b^2\right)=4\Leftrightarrow a+b\le2\)
Điều cần chứng minh là:
\(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (*)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{2}b+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\)
Suy ra (*) đúng
Vậy ta có đpcm
