Cách khác :
Áp dụng BĐT : (x - y)2 ≥ 0 ∀x
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
Ta có : a2 + b2 ≥ 2ab
b2 + c2 ≥ 2bc
c2 + a2 ≥ 2ac
⇒ 2( a2 + b2 + c2) ≥ 2( ab + bc + ac)
⇒3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{4}}=|a|\geq a\)
\(b^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{b^2}{4}}=|b|\geq b\)
\(c^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{c^2}{4}}=|c|\geq c\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên suy ra:
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\geq a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c-\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/2
=>BĐT được c/m
còn cách khác nhưng thôi nhé
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :
( a2 + b2 + c2)( 12 + 12 + 12) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Cách khác:
Đặt \(a=x+\dfrac{1}{2};b=y+\dfrac{1}{2};c=z+\dfrac{1}{2}\)
=> x + y + z = 0.
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(z+\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\left(z^2+z+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=\dfrac{3}{4}+\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)
\(=\dfrac{3}{4}+x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{3}{4}\)
