Violympic toán 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Hoài Thu

Cho A=11.13.15+13.15.17+.......+91.93.95+93.95.97

Hỏi A có chia hết cho 5 không?

~~~ - @@@@ - ~~~

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 10 2019 lúc 20:24

Xét tổng:

\(1.3.5+3.5.7+...+\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)=\sum\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\)

\(=\sum\left(4n^2-1\right)\left(2n+3\right)=\sum\left(8n^3+12n^2-2n-3\right)\)

\(=8\sum n^3+12\sum n^2-2\sum n-\sum3\)

\(=\frac{8n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\frac{12n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}-\frac{2n\left(n+1\right)}{2}-3n\)

\(=2n^2\left(n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)-n\left(n+1\right)-3n\)

\(=n\left[2n\left(n+1\right)^2+2\left(n+1\right)\left(2n+1\right)-n-4\right]⋮n\) \(\forall n\in Z^+\)

Thay \(n=50\) vào biểu thức trên ta được:

\(B=1.3.5+3.5.7+...+99.101.103⋮50\Rightarrow B⋮5\)

Mà ta có:

\(B=1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.11+9.11.13+95.97.99+97.99.101+99.101.103+A\)

Do \(B⋮5\)\(1.3.5+3.5.7+95.97.99⋮5\)

Nên A có chia hết cho 5 hay ko phụ thuộc vào tổng:

\(C=7.9.11+9.11.13+97.99.101+99.101.103\)

\(C=7.99+13.99+99.97.101+99.101.103\)

\(C=99\left(7+13+97.101+101.103\right)\)

\(C=99\left(20+101.200\right)⋮5\)

Vậy \(A⋮5\)

Làm theo kiểu tổng quát nên hơi trâu bò @@

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
1 tháng 11 2019 lúc 0:13

Nguyễn Thị Hoài Thu : nếu bạn học đồng dư rồi thì chắc sẽ hiểu cách này.

Ta thấy:

\(11.13.15+13.15.17+15.17.19+17.19.21+19.21.23\equiv 1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3\pmod 5\)

\(21.23.25+.....+29.31.33\equiv 1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3\pmod 5\)

.......................

\(81.83.85+.....+89.91.93\equiv1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3\pmod 5\)

\(91.93.95+93.95.97\equiv 0\pmod 5\)

Cộng lại:

\(A\equiv 8(1.3.5+3.5.7+5.7.9+7.9.1+9.1.3)\pmod 5\)

\(\equiv 8(7.9.1+9.1.3)\equiv 720\equiv 0\pmod 5\)

Vậy $A$ chia hết cho $5$

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thị Hoài Thu
26 tháng 10 2019 lúc 16:34

@Nguyễn Việt Lâm anh ơi giúp em bài này được không ạ -,-

Khách vãng lai đã xóa
Trúc Giang
26 tháng 10 2019 lúc 19:06

Gợi ý cách giải:

- Chứng minh các số hạng có trong A đều chia hết cho 5

HD: A = 11.13.15+13.15.17+.......+91.93.95+93.95.97

= (11.13.15)+(13.15.17)+.......+(91.93.95)+(93.95.97)

Có: 11.13.15 = 11.13.5.3 chia hết cho 5 (có thừa số 5)

...............Làm tương tự vs những sô còn lại .......................................

=> A chia hết cho 5

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Quyến Phan
Xem chi tiết
Lan Trịnh Thị
Xem chi tiết
Thái An Phạm Lê
Xem chi tiết
Hồ Hoàng Long
Xem chi tiết
Đỗ Yến Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn  Anh Thư
Xem chi tiết
Lê Quang
Xem chi tiết
lưu tuấn anh
Xem chi tiết
Leona
Xem chi tiết