Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Quang Nghĩa

Cho a>0, b>0 và c>0. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
A = \(\frac{a}{a+\sqrt[]{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{b+\sqrt[]{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{c+\sqrt[]{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

nhung
20 tháng 8 2016 lúc 20:51

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)\(\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)=\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(2)

\(\frac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)

Cộng theo vế của (1);(2)&(3) ta đc:

A\(\le1\)

Dấu''='' xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c

 


Các câu hỏi tương tự
dam thu a
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
TaeTae Kim
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Phạm Thị Hằng
Xem chi tiết
Trần Khánh Huyền
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết