Question

Cho a>0 , b>0 và a\(^2\) + b\(^2\) = 1 . Tính giá trị lớn nhất của M = ab + 2b + 2a

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(a^2+b^2=1\Leftrightarrow (a+b)^2-2ab=1\)

\(\Rightarrow ab=\frac{(a+b)^2-1}{2}\)

\(\Rightarrow M=ab+2(a+b)=\frac{(a+b)^2-1}{2}+2(a+b)\)

Ta có:

Với mọi $a,b$ ta luôn có: \(a^2+b^2\geq 2ab\)

\(\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow 2\geq (a+b)^2\)

\(\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}\)

Do đó:

\(M=\frac{(a+b)^2-1}{2}+2(a+b)\leq \frac{2-1}{2}+2\sqrt{2}=\frac{1+4\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{1+4\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)