Question

Cho a, b là hai số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d để a - b = a²c - b²d. Chứng minh |a - b| là số chính phương.

Answer 1

Lời giải:

Đặt $d=c+1$

Khi đó:

$a-b=a^2c-b^2d=a^2c-b^2(c+1)=(a^2-b^2)c-b^2$

$\Leftrightarrow b^2=(a^2-b^2)c-(a-b)=(a-b)(ac+bc-1)$

$\Rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|$

Đặt $d$ là ƯCLN của $|a-b|, |ac+bc-1|$

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} |a-b|\vdots d\\ |ac+bc-1|\vdots d\\ b^2=|(a-b)(ac+bc-1)|\vdots d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\\ b\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ a\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=\pm 1\)

Vậy $|a-b|, |ac+bc-1|$ nguyên tố cùng nhau.

Mà tích của chúng là scp nên $|a-b|$ cũng là scp (đpcm)

Answer 2

Lời giải:

Đặt $d=c+1$

Khi đó:

$a-b=a^2c-b^2d=a^2c-b^2(c+1)=(a^2-b^2)c-b^2$

$\Leftrightarrow b^2=(a^2-b^2)c-(a-b)=(a-b)(ac+bc-1)$

$\Rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|$

Đặt $d$ là ƯCLN của $|a-b|, |ac+bc-1|$

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} |a-b|\vdots d\\ |ac+bc-1|\vdots d\\ b^2=|(a-b)(ac+bc-1)|\vdots d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\\ b\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ a\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=\pm 1\)

Vậy $|a-b|, |ac+bc-1|$ nguyên tố cùng nhau.

Mà tích của chúng là scp nên $|a-b|$ cũng là scp (đpcm)