Ta cần CM BĐT a3+b3+c3=3abc luôn đúng với a+b+c=0
ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\left(a+b\right)+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)\(-3ab\left(a+b+c\right)\)=0
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right)c-3ab\right)\)=0(đúng vì a+b+c=0)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\) với a+b+c=0
Cần gì phải vất vả thế!!
Giải:
Từ giả thiết \(a+b+c=0\) ta có:
\(\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(-c\right)=3abc\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\) (Đpcm)
a+b+c=0 => a+b=-c => (a+b)^3 = -c^3 => a^3 + b^3 +3ab(a+b) + c^3 = 0 . Vì a+b = -c => 3ab(a+b) = -3abc => a^3 +b^3 +c^3 - 3abc = 0 => a^3 +b^3 +c^3 = 3abc
Ta có:
a + b + c = 0
⇒ a + b = −c
⇒ (a + b)3 = (−c)3
⇔ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (−c)3
⇔ a3 + b3 + c3 = −3ab (a + b) = −3ab (−c) = 3abc (ĐPCM)
