Question

chứng minh rằng a²+b²+c²\(\ge\)ab+ac+bc với mọi số a,b,c

Answer 1

Lại copy!!!

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski

Xét cặp số \(\left(1,1,1\right)\) và \(\left(a,b,c\right)\) ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(1.a+1.b+1.c\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

Chúng ta có thể dễ dàng bất đức thức này bằng vài bước suy luận cơ bản như sau:

Điều này luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Answer 3

Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

Cộng cả hai vế của bất phương trình ta được \(a^2+b^2\ge2ab\) (1)

Tương tự ta có:

Answer 4

Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

Cộng cả hai vế của bất phương trình với 2ab ta được

\(a^2+b^2\ge2ab\) (1)

Tương tự ta có

\(b^2+c^2\ge2bc\) (2)

\(a^2+c^2\ge2ac\) (3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được

\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 2 ta được

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)