§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sách Giáo Khoa

Cho a, b, c, d là những số dương.

Chứng minh rằng :

         \(\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

Kuro Kazuya
19 tháng 4 2017 lúc 18:28

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\c+d\ge2\sqrt{cd}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{abcd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\dfrac{2\sqrt[4]{abcd}}{2}=\sqrt[4]{abcd}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=d\)


Các câu hỏi tương tự
Phan Thanh Tâm
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Lông_Xg
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết