Question

cho 3 số thực dương thỏa mãn : abc+a+b=3ab . c/m :

\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{a}{ac+a+1}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+b+1}}\ge\sqrt{3}\)

Answer 1

Từ \(abc+a+b=3ab\Leftrightarrow c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\left(x;y>0\right)\Rightarrow c+x+y=3\)

BĐT cần chứng minh là:

\(\sqrt{\dfrac{1}{x+y+xy}}+\sqrt{\dfrac{1}{y+a+ay}}+\sqrt{\dfrac{1}{x+a+ax}}\ge\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT\ge3\sqrt[6]{\dfrac{1}{\left(x+y+xy\right)\left(x+a+ax\right)\left(a+y+ay\right)}}\ge\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow (x+y+xy)(x+a+ax)(a+y+ay)\leq \frac{1}{27}\)

BĐT này luôn đúng vì ta có 2 BĐT phụ sau luôn đúng theo AM-GM \(mnp\le\left(\dfrac{m+n+p}{3}\right)^3;mn+np+mp\le\dfrac{\left(m+n+p\right)^2}{3}\)

Ok. Done !