Ta có: \(P=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-4}{z}\)
\(P=1-\frac{1}{x}+1-\frac{1}{y}+z-\frac{4}{z}\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ở dạng phân thức, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{x+y+z}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)
Do đó: \(P\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{2}{z}\\x+y+z=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2};y=\frac{3}{2};z=3\)
Vậy max P = 1/3 khi và chỉ khi \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2};y=\frac{3}{2};z=3\)
