\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2}.\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{x^3}{\frac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Tương tự
\(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng vế theo vế
\(VT\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Cho các số dương x;y;z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\). Chứng minh rằng
\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}>2\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1
CMR: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1=z^2}}\le\frac{3}{2}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(xy+yz+xz=1\) . Chứng minh:
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1
Tính:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+z^2}}\)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính tổng:
\(S=\sqrt[x]{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}+\sqrt[y]{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+y^2\right)}}+\sqrt[z]{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+z^2\right)}}\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 chứng minh rằng \(\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}\ge\frac{3}{2}\)
cho x,y,z là 3 số dương và x+y+y \(\le\)1 . CMR : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge82\)
cho x, y, z >1 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=6.\) Chứng minh \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge\frac{3\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
