Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hải An

Cho 3 số dương thỏa mãn a+b+c \(\le\)2018 . Cm:

\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\)+ \(\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\) + \(\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\) \(\le\) 2018

Akai Haruma
23 tháng 5 2018 lúc 23:37

Lời giải:

Xét \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\geq 0, \forall a,b>0\)

Do đó \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\) với mọi $a,b>0$

\(\Rightarrow b^3\geq ab(a+b)-a^3\)

\(\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{5a^3-[ab(a+b)-a^3]}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-b(a+b)}{b+3a}\)

hay \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{(2a-b)(3a+b)}{b+3a}=2a-b\)

Hoàn toàn tương tự ta có:

\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\text{VT}\leq a+b+c\leq 2018\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Edowa Conan
Xem chi tiết
Andromeda Galaxy
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết