Question

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.CMR \(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt:

\(A=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{1-2(ab+bc+ac)}\)

Đặt \(ab+bc+ac=t\Rightarrow A=\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow t=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}\)

Xét:

\(A-14=\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}=\frac{3}{t}-9+\frac{2}{1-2t}-5\)

\(=\frac{3-9t}{t}+\frac{10t-3}{1-2t}>\frac{3-9t}{t}+\frac{9t-3}{1-2t}=3(1-3t)(\frac{1}{t}-\frac{1}{1-2t})=\frac{3(1-3t)^2}{t(1-2t)}>0\) với mọi \(t>0; t\leq \frac{1}{3}\)

Do đó: \(A>14\) (đpcm).