Đề bài sai nhé bạn (bị ngược chiều):
Với số thực dương \(0< x< 1\) ta có đánh giá sau:
\(\frac{x}{\sqrt{1-x}}\ge\frac{\sqrt{6}}{8}\left(5x-\frac{1}{3}\right)\)
- Với \(x\le\frac{1}{15}\) BĐT trên hiển nhiên đúng
- Với \(\frac{1}{15}< x< 1\) bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1-x}\ge\frac{3}{32}\left(5x-\frac{1}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(x-\frac{1}{25}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}\ge\frac{\sqrt{6}}{8}\left[5\left(a+b+c\right)-1\right]=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
