\(A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)
Vì \(a;b;c\) là các số thực dương nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế :
\(A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=1\)(1)
Vì \(a;b;c\) là 3 số thực dương nên \(\dfrac{a}{a+b};\dfrac{b}{b+c};\dfrac{c}{c+a}< 1\) nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế:
\(A< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(1< A< 2\)
