Question

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn \(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\) . Tìm GTLN của tích xy.

Answer 1

Ta có:
\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)

\(\Leftrightarrow2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}+x^2-xy+\dfrac{y^2}{4}+xy\)

\(\Leftrightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+xy\)

Vì : \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow xy\le2\)

Vậy GTLN của xy=2 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x-\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=2\\x=-1\Rightarrow y=-2\end{matrix}\right.\)