Question

Cho 0o < x < 90o, CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(\left(\dfrac{1-\tan^2x}{\tan x}\right)^2-\left(1+\tan^2x\right).\left(1+\cot^2x\right)\)

Answer 1

điều kiện xác định : \(cotx;tanx;cosx;sinx\ne0\)

ta có : \(\left(\dfrac{1-tan^2x}{tanx}\right)^2-\left(1+tan^2x\right)\left(1+cot^2x\right)\)

\(=\left(\dfrac{1-tan^2x}{tanx}\right)^2-\left(1+tan^2x\right)\dfrac{1+tan^2x}{tan^2x}\)

\(=\dfrac{\left(1-tan^2x\right)^2}{tan^2x}-\dfrac{\left(1+tan^2x\right)^2}{tan^2x}=\dfrac{\left(1-tan^2x\right)^2-\left(1+tan^2x\right)}{tan^2x}\)

\(=\dfrac{-4tan^2x}{tan^2x}=-4\) (không phụ thuộc vào \(x\)) (đpcm)