\(sin^3x-m=3\sqrt[3]{3sinx+m}\)
\(\Leftrightarrow sin^3x=m+3\sqrt[3]{3sinx+m}\)
\(\Leftrightarrow sin^3x+3sinx=3sinx+m+3\sqrt[3]{3sinx+m}\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^3+3t\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2+3>0\) \(\forall t\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(sinx=\sqrt[3]{3sinx+m}\Leftrightarrow sin^3x=3sinx+m\)
\(\Leftrightarrow sin^3x-3sinx=m\), đặt \(sinx=a\)
Xét \(f\left(a\right)=a^3-3a\) với \(-1\le a\le1\), ta tìm GTLN và GTNN của \(f\left(a\right)\) trên đoạn \(\left[-1;1\right]\)
\(f'\left(a\right)=3a^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-1\end{matrix}\right.\)
\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(-1\right)=2\) \(\Rightarrow-2\le f\left(a\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^3+b^3=0\)
