bài 1:
TA có: \(\left\{{}\begin{matrix}DE//BC\left(gt\right)\\OK//BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow DE//OK\)
Xét tam giác AKC có DE//AK ( vì DE//OK)
\(\Rightarrow\frac{AK}{DE}=\frac{AC}{EC}\)( hệ quả của định lý Ta-let) (1)
Xét tam giác AOB có AO//DE ( vì DE//OK )
\(\Rightarrow\frac{AO}{DE}=\frac{AB}{BD}\)( hệ quả của định lý Ta-let) (2)
Xét tam giác ABC có DE//BC(gt)
\(\Rightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{ED}\)( định lý Ta-let) (3)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow AK=OA\) mà A thuộc OK
\(\Rightarrow A\)là trung điểm của OK
Vì AD//BC
\(\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{C1}\)(2 góc so le trong )
Xét tam giác ANF và tam giác CNB có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{N1}=\widehat{N2}\left(2gocđoidinh\right)\\\widehat{A1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta ANF~\Delta CNB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{NF}=\frac{CN}{NB}\)( các cạnh t.ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow\frac{AN}{CN}=\frac{NF}{NB}\) (1)
Xét tam giác NEC có EC//AB
\(\Rightarrow\frac{AN}{NC}=\frac{NB}{EN}\)( định lý Ta-let) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{NF}{NB}=\frac{NB}{EN}\)
\(\Rightarrow NB^2=NE.NF\left(đpcm\right)\)
Bài 2.
Vì ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB//CD\\AD//BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB//EC\left(E\in DC\right)\\AF//BC\left(F\in AD\right)\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta ABM\) có \(EC//AB\left(cmt\right)\):
\(\Rightarrow\frac{MB}{ME}=\frac{AM}{MC}\) ( định lý Ta-lét) (1)
Xét \(\Delta MBC\) có \(AF//BC\left(cmt\right)\):
\(\Rightarrow\frac{AM}{MC}=\frac{MF}{MB}\) (định lý Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{MB}{ME}=\frac{MF}{MB}\)
\(\Rightarrow MB^2=ME.MF\) (đpcm)
