Câu hỏi của Đặng Dương

Question

câu 1:Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (3;2;-1) và đi qua điểm A (2;1;2). mặt phẳng nào tiếp xúc với S tại A??

A. X+Y-3Z=0                                     B. X-Y-3Z+3=0...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

1/ $\overrightarrow{AI}=\left(1;1;-3\right)$

Do (P) tiếp xúc với (S) tại A $\Rightarrow AI\perp\left(P\right)\Rightarrow\left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{AI}$ là một vtpt

$\Rightarrow$ phương trình (P):

$1\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)-3\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3z+3=0$

2/ $\overrightarrow{u_d}=\left(2;-1;4\right)$ ; $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;0;0\right)$

Gọi A là giao điểm của d và (P) có pt $x+3=0$

$\Rightarrow x_A=-3$ (suy từ pt (P)); $y_A=-3;z_A=-5$ (thay $x_A$ vào pt d) $\Rightarrow A\left(-3;-3;-5\right)$

Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc (P) $\Rightarrow\left(Q\right)$ chứa A và (Q) có 1 vtpt là $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(0;4;1\right)$

$\Rightarrow$ pt (Q): $0\left(x+3\right)+4\left(y+3\right)+1\left(z+5\right)=0\Leftrightarrow4y+z+17=0$

Gọi $d'$ là hình chiếu của d lên (P) $\Rightarrow$ $d'$có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d'}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(0;-1;4\right)$ và $d'$ qua A

$\Rightarrow$ pt đường thẳng $d':$ $\left\{{}\begin{matrix}x=-3+0.t\y=-3+\left(-1\right).t\z=-5+4.t\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\y=-3-t\z=-5+4t\end{matrix}\right.$ (1)

Đến đây thì đừng bối rối vì không thấy đáp án, vì việc viết pt tham số của đường thẳng sẽ ra các kết quả khác nhau khi ta chọn điểm khác nhau (một đường thẳng chứa vô số điểm vì thế cũng có vô số cách viết 1 pt tham số của đường thẳng)

Kiểm tra đáp án chính xác bằng cách loại trừ, đầu tiên nhìn vào vecto chỉ phương $\left(0;-1;4\right)$ $\Rightarrow$ loại đáp án B và C

Đáp án A họ sử dụng điểm có tọa độ $\left(-3;-5;-3\right)$ để viết, thay thử 3 tọa độ này vào hệ (1), dòng 2 cho $-5=-3-t\Rightarrow t=2$ ; dòng 3 cho $-3=-5+4t\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\ne2$. Vậy A sai nốt, D là đáp án đúng (bạn có thể thay tạo độ $\left(-3;-6;7\right)$ vào (1) sẽ thấy đúng)

3/ Gọi $d$ đi qua A vuông góc $\left(P\right)$

Ta có $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;3;-1\right)\Rightarrow$ chọn $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;3;-1\right)$ là 1vecto chỉ phương của d

$\Rightarrow$ pt tham số d có dạng: $\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\y=3+3t\z=-t\end{matrix}\right.$ (2)

Lại giống câu trên, họ chọn 1 điểm khác để viết, nhưng câu này thì loại trừ đơn giản hơn vì chi có đáp án B là đúng vecto chỉ phương, chọn luôn ko cần suy nghĩ

Nếu ko tin, thay thử điểm $\left(1;0;1\right)$ trong câu B vào (2)

Dòng 1 cho $1=2+t\Rightarrow t=-1$

Dòng 2 cho $0=3+3t\Rightarrow t=-1$

Dòng 3 cho $1=-t\Rightarrow t=-1$

3 dòng cho 3 giá trị t giống nhau, vậy điểm đó thuộc d $\Rightarrow$ đáp án đúngCâu trả lời: 1/ $\overrightarrow{AI}=\left(1;1;-3\right)$