Câu 1: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD, CE, CF lần lượt vuông góc với AB, MA, MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:
a) AECD nội tiếp
b)\(CD^2=CE.CF\)
c) \(IK\perp CD\)
Câu 2: Chứng minh:
(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 luôn có nghiệm
Bài 1:
a)
Vì $CD\perp AB, CE\perp MA$ nên \(\widehat{CDA}=\widehat{CEA}=90^0\)
Xét tứ giác $AECD$ có tổng 2 góc đối nhau \(\widehat{CDA}+\widehat{CEA}=90^0+90^0=180^0\) nên $AECD$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Hoàn toàn tương tự phần a, ta cũng thấy \(\widehat{CDB}+\widehat{CFB}=90^0+90^0=180^0\) nên tứ giác $CDBF$ nội tiếp.
Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp với 2 tứ giác $AECD$ và $CDBF$ và tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến- dây cung ta có:
\(\widehat{EDC}=\widehat{EAC}=\widehat{CBA}=\widehat{CBD}=\widehat{DFC}\)
\(\widehat{CDF}=\widehat{CBF}=\widehat{CAB}=\widehat{CAD}=\widehat{CED}\)
\(\Rightarrow \triangle EDC\sim \triangle DFC(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{EC}{DC}=\frac{DC}{FC}\Rightarrow EC.FC=DC^2\) (đpcm)
c)
Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp đối với 2 tứ giác $AECD$ và $CDBF$:
\(\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=\widehat{ICD}+\widehat{DCK}+\widehat{IDC}+\widehat{CDK}\)
\(=\widehat{IEA}+\widehat{KFB}+\widehat{IAE}+\widehat{KBF}\)
\(=(\widehat{IEA}+\widehat{IAE})+(\widehat{KFB}+\widehat{KBF})=\widehat{CID}+\widehat{CKD}\)
Mà \((\widehat{ICK}+\widehat{IDK})+(\widehat{CID}+\widehat{CKD})=360^0\) (tổng các góc trong 1 tứ giác)
\(\Rightarrow \widehat{ICK}+\widehat{IDK}=180^0\Rightarrow ICDK\) là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{CKI}=\widehat{CDI}\)
Mà \(\widehat{CDI}=\widehat{EDC}=\widehat{CBA}\) (theo phần b)
\(\Rightarrow \widehat{CKI}=\widehat{CBA}\). Hai góc này ở vị trí đồng vị nên $IK\parallel AB$. Mà $AB\perp CD$ nên $IK\perp CD$ (đpcm)
Bài 2:
\((x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0\)
\(\Leftrightarrow 3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=0\)
Xét \(\Delta'=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\)
\(=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\)
Do đó PT đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c$ (đpcm)
