Question

Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sqrt{3}sin2x+cos2x=1-4sinx\) có dạng \(\frac{a\pi}{b}\) . Giá trị a+b bằng

Answer 1

\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}sinx.cosx+1-2sin^2x=1-4sinx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sinx.cosx-sin^2x+2sinx=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(\sqrt{3}cosx-sinx+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Nghiệm dương nhỏ nhất là \(\frac{5\pi}{6}\Rightarrow a+b=11\)