Question

Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : \(\sqrt{3}sin2x+cos2x=1-4sinx\) có dạng \(\frac{a\pi}{b};a,b\in N^{\cdot}\) , \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản . Giá trị a+b bằng ?

Answer 1

\(2\sqrt{3}sinx.cosx+1-2sin^2x=1-4sinx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sinx.cosx-sin^2x+2sinx=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(\sqrt{3}cosx-sinx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất \(x=\frac{5\pi}{6}\Rightarrow a+b=11\)