Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, CK là tia phân giác của góc ACB ( K AB). Trên tia
BC lấy điểm sao cho CN = AC.
a) Chứng minh ∆ACK = ∆NCK
b) Chứng minh CK là đường trung trực của AN
c) Vẽ AD ┴ BC tại D và cắt CK tại H. Chứng minh AN là tia phân giác của góc DAB
d) * Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AD và cắt AC tại E, trên tia đối tia
DA lấy điểm F sao cho AH = DF. Chứng minh EF ┴ FB
Bài 4:
a) Chứng minh ΔACK=ΔNCK
Xét ΔACK và ΔNCK có
AC=NC(gt)
\(\widehat{ACK}=\widehat{NCK}\)(CK là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\), N∈BC)
CK là cạnh chung
Do đó: ΔACK=ΔNCK(c-g-c)
b) Chứng minh CK là đường trung trực của AN
Ta có: CA=CN(gt)
⇒C nằm trên đường trung trực của AN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔACK=ΔNCK(cmt)
⇒KA=KN(hai cạnh tương ứng)
⇒K nằm trên đường trung trực của AN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra CK là đường trung trực của AN(đpcm)
c) Chứng minh AN là tia phân giác của \(\widehat{DAB}\)
Ta có: ΔCAK=ΔCNK(cmt)
⇒\(\widehat{CAK}=\widehat{CNK}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{CAK}=90^0\)(\(\widehat{CAB}=90^0\), K∈AB)
nên \(\widehat{CNK}=90^0\)
⇒NK⊥BC
Ta có: NK⊥BC(cmt)
AD⊥BC(cmt)
Do đó: NK//AD(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\widehat{ANK}=\widehat{DAN}\)(hao góc so le trong)(3)
Xét ΔKAN có KA=KN(cmt)
nên ΔKAN cân tại K(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{KNA}=\widehat{KAN}\)(hai góc ở đáy)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{DAN}=\widehat{KAN}\)
mà tia AN nằm giữa hai tia AD,AK
nên AN là tia phân giác của \(\widehat{DAK}\)
hay AN là tia phân giác của \(\widehat{DAB}\)(B∈AK)
