Bài 1: Cho góc nhọn xOy, điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy ( A thuộc Ox và B thuộc Oy)
a. Chứng minh: 🔺HAB là tam giác cân
b. Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH, I là giao điểm của BC và OA. Chứng minh: BC vuông góc với Ox tại I
c. Chứng minh: OC là đường trung trực của DI
d. Khi góc xOy bằng 60 độ. Chứng minh: OA =2OD
Bài 2: Cho 🔺ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BD của tam giác ( D thuộc AC). Gọi I là hình chiếu của D trên BC, AI cắt BD tại H.
a. Chứng minh🔺BAD=🔺BID, từ đó chứng minhAD <CD
b. Qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh EF vuông góc với AI và 🔺DIF là tam giác cân.
c. Gọi giao điểm của EH vớ BI là K. Chứng minh EK=2KH
Giúp mình nhé!
Tự vẽ hình nhá
1)
a. Điểm H nằm trên tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)
\(\Rightarrow HA=HB\) (theo tính chất tia phân giác của 1 góc )
\(\Rightarrow\Delta HAB\) cân
b. Xét \(\Delta OAH,\widehat{OAH}=90^o\) và \(\Delta OAB,\widehat{OAB}=90^o\) có:
OH chung
\(\widehat{HOA}=\widehat{HOB}\) (H nằm trên tia phân giác \(\widehat{xOy}\) )
\(\Rightarrow\Delta OAH=\Delta OAH\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow OA=OB\) ( 2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta OAC\) và \(\Delta OBC\) có:
OC chung
\(OA=OB\left(cmt\right)\)
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\) ( C nằm trên tia p/g \(\widehat{xOy}\) )
\(\Rightarrow\Delta OAC=\Delta OBC\) ( c - g - c )
\(\Rightarrow AC=CB\)
Xét \(\Delta CAH\) và \(\Delta HBC\) có:
\(AC=CB\left(cmt\right)\)
\(HA=HB\) (phần a)
CH chung
\(\Rightarrow\Delta CAH=\Delta HBC\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CHA}=\widehat{HCB}\)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow AH//CB\)
Mà \(AH\perp Ox\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow CB\perp Ox\)
c. Có \(CB\perp Ox\) \(\Rightarrow\widehat{OIC}=90^o\)
Xét \(\Delta OIC,\widehat{OIC}=90^o\) và \(\Delta ODC,\widehat{ODC}=90^o\)
OC chung
\(\widehat{IOC}=\widehat{DOC}\) (phân giác OC)
\(\Rightarrow\Delta OIC=\Delta ODC\left(ch-gn\right)\)
=> CI = CD => C nằm trên đường trung trực của DI (1)
=> OD=OI => O nằm trên đường trung trực của DI (2)
Từ (1) và (2) => OC là đường trung trực của DI
d. Xét \(\Delta OAH\) có:
Có OH là tia phân giác \(\widehat{xOy}\) \(\Rightarrow\widehat{AOH}=\widehat{BOH}=\dfrac{\widehat{xOy}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)
Xét \(\Delta OAH\) có:
\(\widehat{OAH}+\widehat{AOH}+\widehat{AHO}=180^o\)
\(\Rightarrow90^o+30^o+\widehat{AHO}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AHO}=60^o\)
Có \(AH//BC\) (phần b) \(\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{HCB}=60^o\) ( 2 góc ở vị trí so le trong)
Mà \(\widehat{AHO}=\widehat{BHC}\left(\Delta CAH=\Delta HBC\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BHC}=\widehat{HCB}=60^o\Rightarrow\widehat{CBH}=60^o\)
Mà \(\widehat{CBH}+\widehat{CBD}=\widehat{HBD}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CBD}=30^o\)
Có OC là tia phân giác \(\widehat{xOy}\)
\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{DOC}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DOC}=\widehat{CBD}\)
\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân \(\Rightarrow OC=OB\)
Xét \(\Delta OCD;\widehat{CDO}=90^o\) và \(\Delta BCD;\widehat{CDB}=90^o\) có:
OC=OB (cmt)
\(\widehat{CBD}=\widehat{DOC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OCD=\Delta BCD\left(ch-gn\right)\Rightarrow OD=DB\)
Có D là hình chiếu của điểm A trên Oy
\(\Rightarrow AD\perp Oy\) tại D hay \(AD\perp OB\) tại D
=> 3 điểm O, D, B thẳng hàng
Mà OD = DB => D là trung điểm của OB => OD = 2OB
Mà OA = OB (phần b)
=> OD = 2OA (đpcm)
