Question

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A= (a+b+1)(a²+b²)+\(\dfrac{4}{a+b}\)

Answer 1

Vì a ; b là các số thực dương , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2\ge2\) ( do ab = 1 )

\(\Rightarrow A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\ge2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)

\(=a+b+\frac{4}{a+b}+a+b+2\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right).4}{a+b}}+2\sqrt{ab}+2=2.2+2+2=8\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)