Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thu Hien Tran

B1: Cho hai số dương x,y thỏa mãn x\(\ge2y\). Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\)

B2: Cho các số x,y thỏa mãn điều kiện xy=\(\frac{1}{2}\).Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\)

B3 Cho a\(\ge4\).Chứng minh \(a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\ge25\)

Akai Haruma
17 tháng 7 2019 lúc 17:07

Bài 1:
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x})-2\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)

\(\frac{7x}{4y}\geq \frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do $x\geq 2y$

Do đó: \(P\geq \frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{5}{2}$ khi $x=2y$

Akai Haruma
17 tháng 7 2019 lúc 17:33

Bài 2:
\(P=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}=4(x^2+y^2)+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{4}.\frac{1}{4(x^2+y^2)}}=\frac{1}{2}(1)\)

\(x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|=2.\frac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow \frac{15(x^2+y^2)}{4}\geq \frac{15}{4}(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow P\geq \frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Akai Haruma
17 tháng 7 2019 lúc 17:39

Bài 3:

Có: \(a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}=\frac{7}{16}a^2+\frac{9}{16}a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{9}{16}a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\geq 2\sqrt{\frac{9}{16}a^2.\frac{18}{\sqrt{a}}}=\frac{9}{2}\sqrt{2a\sqrt{a}}\geq \frac{9}{2}\sqrt{2.4\sqrt{4}}=18(1)\) do $a\geq 4$

\(\frac{7}{16}a^2\geq \frac{7}{16}.4^2=7(2)\) do $a\geq 4$

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow a^2+\frac{18}{\sqrt{a}}\geq 7+18=25\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=4$


Các câu hỏi tương tự
Thu Hien Tran
Xem chi tiết
阮芳邵族
Xem chi tiết
Hoài Dung
Xem chi tiết
Komorebi
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Henry Phạm
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết
Nguyễn Trung Quân
Xem chi tiết