Bài kinh điển này có nhiều cách chứng minh, đây là cách sử dụng Bernoulli: \(\left(1+x\right)^r\ge1+rx\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\r\ge2\end{matrix}\right.\)
Với các số thực dương a, b, ta dễ dàng chứng minh \(\dfrac{a-b}{a+b}\ge-1\) và \(\dfrac{b-a}{a+b}\ge-1\) (nhân chéo rút gọn là xong)
Với n=1 BĐT hiển nhiên đúng, xét với \(n\ge2\)
\(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\Leftrightarrow\dfrac{2^n\left(a^n+b^n\right)}{\left(a+b\right)^n}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{2a}{a+b}\right)^n+\left(\dfrac{2b}{a+b}\right)^n\ge2\)
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có:
\(\left(\dfrac{2a}{a+b}\right)^n=\left(1+\dfrac{a-b}{a+b}\right)^n\ge1+\dfrac{n\left(a-b\right)}{a+b}\)
\(\left(\dfrac{2b}{a+b}\right)^n=\left(1+\dfrac{b-a}{a+b}\right)^n\ge1+\dfrac{n\left(b-a\right)}{a+b}\)
Cộng vế với vế:
\(\left(\dfrac{2a}{a+b}\right)^n+\left(\dfrac{2b}{a+b}\right)^n\ge2\) (đpcm)
Dấu "=" khi a=b
