Question

a, Chứng tỏ rằng nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (b>0, d>0) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) .

b, Hãy viết 3 số hữu tỉ xen giữa \(\frac{-1}{3}\) và\(\frac{-1}{4}\)

Answer 1

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\left(1\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với ab

ad+ab<bc+ab

a(b+d)<b(a+c) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(2\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với cd: ad+cd<bc+cd

d(a+c)<c(b+d) \(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Đpcm

b)Theo phần a có:

\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)

\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)

Vậy  \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)

 

Answer 2

a) Giả sử: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)        (1)

\(\Rightarrow a.\left(b+d\right)< b.\left(a+c\right)\) 

\(\Rightarrow ab+ad< ba+bc\)

\(\Rightarrow ad< bc\) (đúng vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) )

Vậy (1) là đúng.    (3)

Giả sử: \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)  (2)

\(\Rightarrow\left(a+c\right).d< \left(b+d\right).c\)

\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\Rightarrow ad< bc\) (đúng vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) )

Vậy (2) đúng.  (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)

b) \(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-3}{11},< \frac{-4}{15}< \frac{-1}{4}\)