Question

a, Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: x⁷ + y⁷ > x³y³(x+y)

b, Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :

\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}+\frac{b^2c^2}{b^7+b^2c^2+c^7}+\frac{c^2a^2}{c^7+c^2a^2+a^7}\)< 1

Answer 1

Hai BĐT đều có dấu "=" xảy ra

a/ \(\Leftrightarrow x^7-x^4y^3+y^7-x^3y^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x^3-y^3\right)-y^4\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

b/ Áp dụng câu a:

\(VT\le\sum\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b\right)+a^2b^2}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)