Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Võ Thị Kim Dung

a. Cho x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp Huyện, phòng GD-ĐT Đức Thọ

b. Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp Huyện, phòng GD-ĐT Đức Thọ

Unruly Kid
10 tháng 11 2017 lúc 17:58

a) Từ gt, suy ra

\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+2\right)+\left(x+y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left(2x^2-2xy+2y^2+2x+2y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+2\right]=0\)

Do đó: \(x+y+2=0\Leftrightarrow x+y=-2\)

Mặt khác \(xy>0\Rightarrow x< 0;y< 0\)

Áp dụng AM-GM, ta có

\(\sqrt{\left(-x\right)\left(-y\right)}\le\dfrac{\left(-x\right)+\left(-y\right)}{2}=1\) nên \(xy\le1\)\(\Rightarrow\dfrac{-2}{xy}\le-2\)

\(M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}\le-2\)

GTLN của M là -2 khi x=y=-1

Unruly Kid
10 tháng 11 2017 lúc 18:04

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có

\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+b^2a}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+c^2b}+\dfrac{c^6}{c^3+c^2a+ca^2}\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)

Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right);c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c


Các câu hỏi tương tự
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Etermintrude💫
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Diệp Vũ Ngọc
Xem chi tiết
Phạm Kiều Anh
Xem chi tiết
Trần Hào
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Trần Thị Mai
Xem chi tiết
Gia Vy Nguyễn Thị
Xem chi tiết