Question

\(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+...+2^{x+2015}=2^{2019}-8\). tim x

Answer 1

Ta có :

2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} + ... + 2^{x + 2015} = 2²⁰¹⁹ - 8

⇔ 2^x( 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁵ ) = 2³( 2²⁰¹⁶ - 1 )

Cho S = 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁵

⇒ S = 2S - S = 2( 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁵ ) - ( 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁵ )

⇔ S = 2+2² + 2³ +...+2²⁰¹⁶ - 1 - 2 - 2² - ... - 2²⁰¹⁵

⇔ S = 2²⁰¹⁶ - 1

⇒ 2²⁰¹⁶ - 1 = 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁵

Áp dụng đa thức vào đa thức ở đầu bài, ta có :

2^x(2²⁰¹⁶ - 1) = 2³(2²⁰¹⁶ - 1)

⇔ 2^x(2²⁰¹⁶ - 1) - 2³(2²⁰¹⁶ - 1) = 0

⇔ ( 2²⁰¹⁶ - 1 )( 2^x - 2³ ) = 0

Mà 2²⁰¹⁶ - 1 ≠ 0 nên 2^x - 2³ = 0

⇒ 2^x = 2³ ⇒ x = 3

Vậy để 2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} + ... + 2^{x + 2015} = 2²⁰¹⁹ - 8 thì x = 3