Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (x > 0)

Chiều rộng của hình sẽ là \(\frac{46}{2}-x=23-x\)

Diện tích ban đầu của hình sẽ là x(23 - x)

Chiều dài của hình sau đó là x - 5

Chiều rộng của hình sau đó là 23 - x + 2 = 25 - x

Diện tích của hình sau đó là (x - 5)(25 - x)

Theo đề bài, ta có PT :

x(23 - x) - 20 = (x - 5)(25 - x)

⇔23x - x² - 20 = 25x - x² - 125 + 5x

⇔23x - 25x - 5x - x² + x² = - 125 + 20

⇔- 7x = - 105 ⇔ x = 15

⇒Vậy diện tích ban đầu của hình chữ nhật sẽ là 15(23 - 15) = 120m²

a) P + (x² - 2y²) = x² - y² + 3y² - 1

⇔ P = (x² - y² + 3y² - 1) - (x² - 2y²)

⇔ P = x² + 2y² - 1 - x² + 2y²

⇔ P = 4y² - 1

b) Q - (5x² - xyz) = xy + 2x² - 3xyz + 5

⇔ Q = (xy + 2x² - 3xyz + 5) + (5x² - xyz)

⇔ Q = xy + 2x² - 3xyz + 5 + 5x² - xyz

⇔ Q = xy + 7x² - 4xyz + 5

Bài 10: \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\)

\(A=1+4+9+16+...+100=1^2+2^2+3^2+4^2+...+10^2=385\)

Bài 11:

\(B=1^2+2^2+3^2+...+100^2=\frac{100.\left(100+1\right).\left(2.100+1\right)}{6}=338350\)

Để A ∈ Z thì

12 ⋮ 3n - 1 ⇒ 3n - 1 ∈ Ư(12) = \(\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm6;\pm12\right\}\)

⇒ n ∈ \(\left\{\frac{2}{3};0;1;-\frac{1}{3};\frac{4}{3};-\frac{2}{3};\frac{5}{3};-1;\frac{7}{3};-\frac{5}{3};\frac{13}{3};-\frac{11}{3}\right\}\)

Hay n ∈ \(\left\{\pm\frac{2}{3};0;\pm1;-\frac{1}{3};\frac{4}{3};\pm\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{13}{3};-\frac{11}{3}\right\}\)

Ta có :

\(\frac{2}{x-3}+\frac{x-5}{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}+\frac{\left(x-5\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-2}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}+\frac{x^2-8x+15}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\)

\(\Rightarrow2x-2+x^2-8x+15=x^2-4x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-x^2+2x+4x-8x=3+2-15\)

\(\Leftrightarrow-2x=-10\Leftrightarrow x=5\)

Vậy x = 5 là ngiệm của PT.

Ta có :

\(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2019^2}< \frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{2018.2020}\)

Cho \(S=\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{2018.2020}\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+...+\frac{2}{2018.2020}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}\right)=\frac{1009}{4040}< \frac{1}{2}\)

Mà A < S ⇒ đpcm

\(\frac{1919}{2323}.\frac{464646}{747474}.\frac{37}{19}\)

\(=\frac{1919.464646.37}{2323.747474.19}\)

\(=\frac{101.\frac{20202}{101}.1}{1.20202.1}\)

\(=\frac{20202.1}{1.20202.1}\)

\(=\frac{20202}{20202}\)

\(=\frac{1}{1}=1\)

Bài 2 : Tìm GTLN, GTNN của :

P = \(\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\); Q = \(\frac{x^2}{x^2-5x+7}\)