Question

1.Tìm GTNN của \(A=x^2+y^2-2x+8y+2037\)

2.Giải phương trình sau : \(\frac{x-17}{1990}+\frac{x-21}{1996}+\frac{x+1}{1004}=4\)

3. Tìm số tự nhiên N để \(n^4+n^2+1\) là số nguyên tố

4.Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x^2+y^2+5x=2xy+2\) . Tìm GTLn của biểu thức \(B=3x+2y\)

Answer 1

Ngu số nguyên tố nên xin phép bỏ 2 câu cuối!

1/ \(A=x^2+y^2-2x+8y+2037\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+8y+16\right)+2020\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2+2020\ge2020\forall x;y\)

\(\Rightarrow Min_A=2020\Leftrightarrow x=1;y=-4\)

2/ Sửa 21 thành 11 nhé thấy hơi sai

Pt \(\Leftrightarrow\left(\frac{x-17}{1990}-1\right)+\left(\frac{x-21}{1996}-1\right)+\left(\frac{x+1}{1004}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2007}{1990}+\frac{x-2007}{1996}+\frac{x-2007}{1004}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2007\right)\left(\frac{1}{1990}+\frac{1}{1996}+\frac{1}{1004}\right)=0\)

`<=>x-2007=0`

`<=>x=2007`

Answer 2

3: Ta có \(n^4+n^2+1=\left(n^2-n+1\right)\left(n^2+n+1\right)\) là số nguyên tố khi và chỉ khi \(n^2-n+1=1\) và \(n^2+n+1\) là số nguyên tố.

Lại có: \(n^2-n+1=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\end{matrix}\right.\).

Với n = 0 thì \(n^2+n+1=1\notin P\) (loại).

Với n = 1 thì \(n^2+n+1=3\in P\) (thoả mãn).

Vậy n = 1.

Answer 3

1.

\(A=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+8y+16\right)+2020\)

\(A=\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2+2020\ge2020\)

\(A_{min}=2020\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-4\end{matrix}\right.\)

2.

\(\frac{x-17}{1990}-1+\frac{x-21}{1996}-1+\frac{x+1}{1004}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2007}{1009}+\frac{x-2007}{1996}+\frac{x-2007}{1004}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2007\right)\left(\frac{1}{1009}+\frac{1}{1006}+\frac{1}{1004}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2007\)

3.

\(N=n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2\)

\(N=\left(n^2+1\right)^2-n^2=\left(n^2-n+1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

N là số nguyên tố khi và chỉ khi \(n^2-n+1=1\) đồng thời \(n^2+n+1\) là SNT

Ta có: \(n^2-n+1=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\end{matrix}\right.\)

Với \(n=0\Rightarrow n^2+n+1=1\) (ktm)

\(n=1\Rightarrow n^2+n+1=3\) (thỏa mãn)

Vậy \(n=1\)

4.

\(x^2+y^2+5x=2xy+2\Rightarrow3x=2xy+2-x^2-y^2-2x\)

\(\Rightarrow B=2xy-x^2-y^2-2x+2y+2\)

\(B=-\left(x-y+1\right)^2+3\le3\)

\(B_{max}=3\) khi \(x-y+1=0\)

Answer 4

\(x^2+y^2+5x=2xy+2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+5x=2\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(\left(x-y\right)^2+1\ge2\left|x-y\right|\ge2\left(y-x\right)\)

\(\Rightarrow B=3x+2y=2\left(y-x\right)+5x\le\left(x-y\right)^2+1+5x=3\).

Đẳng thức xảy ra khi (chẳng hạn) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\\y=\frac{6}{5}\end{matrix}\right.\).

Vậy Max B = 3 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\\y=\frac{6}{5}\end{matrix}\right.\).