1.Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a, A=/x-1/+/2x-1/+/x-2/
b, B=(2x^2-1)-6/2x-1/+5
c, C=(2x-1)^2-3/2x-1/+2
d, D=/x^2+x+1/+/x^2+x-12/
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A=6/x-1/-(x-1)^2-2
3. a,Cho a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=a^3-b^3-ab
b,Cho 3a+5b=12.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B=ab
Bài 1:
a)
*) Xét \(x< 0,5\)
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|2x-1\right|+\left|x-2\right|=1-x+1-2x+2-x=4-4x\)
Do \(x< 0,5\Leftrightarrow4x< 2\Leftrightarrow-4x>-2\Leftrightarrow4-4x>-2+4\Leftrightarrow4-4x>2~~~~~~~~\left(1\right)\)
*) Xét \(0,5\le x\le1\).
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|2x-1\right|+\left|x-2\right|=1-x+2x-1+2-x=2~~~~~~~~\left(2\right)\)
*) Xét \(1< x< 2\)
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|2x-1\right|+\left|x-2\right|=x-1+2x-1+2-x=2x\)
Do \(1< x< 2\Leftrightarrow2< 2x< 4~~~~~~~\left(3\right)\)
*) Xét \(2\le x\)
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|2x-1\right|+\left|x-2\right|=x-1+2x-1+x-2=4x-4\)
Do \(2\le x\Rightarrow4x\ge8\Rightarrow4x-4\ge4~~~~~~~~~\left(4\right)\)
Từ (1);(2);(3):(4) \(\Rightarrow_{min}A=2\)khi \(0,5\le x\le1\)
b) Mình nghĩ đề nên là \(\left(2x-1\right)^2-6\left|2x-1\right|+5\)
c) \(C=\left(2x-1\right)^2-3\left|2x-1\right|+2\)
Đặt \(\left|2x-1\right|=y\)
Ta có: \(C=\left(2x-1\right)^2-3\left|2x-1\right|+2=\left|2x-1\right|^2-3\left|2x-1\right|+2=y^2-3y+2\)
\(=\left(y^2-3y+2,25\right)-0,25=\left(y-1,5\right)^2-0,25\ge-0,25\)
Dấu "=" xảy ra khi \(y=1,5\)
\(\Rightarrow\left|2x-1\right|=1,5\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}2x-1=1,5\\2x-1=-1,5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1,25\\x=-0,25\end{matrix}\right.\)
Vậy \(_{min}C=-0,25\) khi \(x=1,25\) hoặc \(x=-0,25\)
d)
Ta có: \(x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2++\dfrac{3}{4}>0\)
\(\Rightarrow D=x^2+x+1+\left|x^2+x-12\right|=x^2+x+1+\left|12-x^2-x\right|\ge x^2+x+1+12-x^2-x=13\)Dấu"=" xảy ra khi:
\(12-x^2-x\ge0\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-3\right)\ge0\)
Do \(x+4>x-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4\ge0\\x-3\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow3\ge x\ge-4\)
Vậy \(_{min}D=13\) khi \(3\ge x\ge-4\)
P/s: trước hết thế đã nhé
Ví dụ như bài dưới các dấu lớn hơn hoặc bằng hay gì đỏ nhảy cóc hết ạ
Bài 2: Đặt \(\left|x-1\right|=y\)
ta có: \(A=6\left|x-1\right|-\left(x-1\right)^2-2=6\left|x-1\right|-\left|x-1\right|^2-2=6y-y^2-2\)
\(=-\left(y^2-6y+9\right)+7=-\left(y-3\right)^2+7\le7\)
Dấu"=" xảy ra khi: \(y=3\)
Vậy \(_{max}A=7\) khi \(y=3\)
Bài 3:
a)
Ta có: \(a-b=1\Leftrightarrow a=b+1\)
\(\Rightarrow A=\left(b+1\right)^3-b^3-\left(b+1\right)b=b^3+3b^2+3b+1-b^3-b^2-b\)
\(=2b^2+2b+1=2\left(b^2+b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ta khi \(b=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(_{min}A=\dfrac{1}{2}\) khi \(b=-\dfrac{1}{2};a=\dfrac{1}{2}\)
b)
Ta có: \(3a+5b=12\Leftrightarrow b=\dfrac{12-3a}{5}\Rightarrow B=\left(\dfrac{12-3a}{5}\right).a\)
\(\Leftrightarrow B=\dfrac{-3a^2+12a}{5}=\dfrac{-3\left(a^2-4a+4\right)+12}{5}=-\dfrac{3\left(a-2\right)^2}{5}+2,4\le2,4\)
Dấu"=" xảy ra khi: \(a=2\Rightarrow b=1,2\)
Vậy \(_{max}B=2,4\) khi \(a=2;b=1,2\)
