Question

1. Tìm m để phương trình :

a. x² - 2x - 3 + m = 0 có nghiệm \(\forall x\in\) [ -1 ; 3 )

b. -x² + 2mx - m +1 = 0 có nghiệm \(\forall x\ge0\)

c. 2x² - x - 1 = m có 2 nghiệm x₁, x₂ \(\in\left[-2;1\right]\)

d. x² - 2x +1 - m = 0 có nghiệm duy nhất \(\in\) ( 0 ; 2 ]

e. \(\sqrt{x^2+4x+3}=\sqrt{x-m}\) có 2 nghiệm phân biệt

f. \(\sqrt{-x^2-x+2}=\sqrt{3x-m}\) có nghiệm duy nhất

g. \(\sqrt{x^2+2m-1}=\sqrt{x-2}\) có nghiệm

h. \(\sqrt{x^2-4mx+3}=\sqrt{1-m}\) có nghiệm

Answer 1

a/ \(x^2-2x-3=-m\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2-2x-3\)

\(-\frac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(1\right)=-4\) ; \(f\left(-1\right)=0\) ; \(f\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm trên khoảng đã cho thì \(-4\le-m\le0\Rightarrow0\le m\le4\)

b/ \(-x^2+2mx-m+1=0\)

\(\Delta'=m^2+m-1\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\m\ge\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm đều âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m< 0\\x_1x_2=m-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Vậy pt luôn có ít nhất 1 nghiệm \(x\ge0\) với \(\left[{}\begin{matrix}m\le\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\m\ge\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Answer 2

c/ \(f\left(x\right)=2x^2-x-1=m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=2x^2-x-1\) trên \(\left[-2;1\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\) ; \(f\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{9}{8}\) ; \(f\left(-2\right)=9\); \(f\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Để pt có 2 nghiệm pb thuộc đoạn đã cho thì \(-\frac{9}{8}< m\le0\)

d/ \(f\left(x\right)=x^2-2x+1=m\)

Xét \(f\left(x\right)\) trên \((0;2]\)

\(-\frac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(0\right)=1\); \(f\left(2\right)=1\)

Để pt có nghiệm duy nhất trên khoảng đã cho \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)

e/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge-3\\x\le-4\end{matrix}\right.\\x\ge m\end{matrix}\right.\)

\(x^2+4x+3=x-m\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2+3x+3=-m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)\)

\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\) ; \(f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}\); \(f\left(-3\right)=3\); \(f\left(-4\right)=7\)

Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(x\notin\left(-4;-3\right)\) thì \(\left[{}\begin{matrix}\frac{3}{4}< m\le3\\m\ge7\end{matrix}\right.\) (1)

Mặt khác \(x^2+3x+m+3=0\)

Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(m\le x_1< x_2\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(m\right)\ge0\\x_1+x_2>2m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+3\ge0\\2m< -3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ko tồn tại m thỏa mãn