Question

1. Tìm các bộ số nguyên dương ( x, y, z) thỏa mãn: x + y + 1 = xyz

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(P=\left|X-1\right|+\left|X-2\right|+\left|X-3\right|\)

Answer 1

1. Vì $z$ nguyên dương nên $z\geq 1$

$x+y+1=xyz\geq xy$

$\Leftrightarrow xy-x-y\leq 1$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\leq 2$

Vì $x,y$ đều nguyên dương nên $(x-1)(y-1)\geq 0$. Mà $(x-1)(y-1)\in\mathbb{Z}$ nên:$(x-1)(y-1)$ có thể nhận giá trị $0;1;2$

TH1: $(x-1)(y-1)=0\Rightarrow x=1$ hoặc $y=1$. 

Nếu $x=1$ thì $yz=y+2\leq 3y\Rightarrow z\leq 3$

Thử các giá trị $z=1;2;3$ ta thu được $(y,z)=(2,2); (1,3)$

Nếu $y=1$ thì tương tự: $(x,z)=(2,2); (1,3)$

TH2: $(x-1)(y-1)=1\Rightarrow x-1=y-1=1$

$\Rightarrow x=y=2$. Thay vào pt đầu: $5=4z$ (vô lý)

TH3: $(x-1)(y-1)=2\Rightarrow (x-1,y-1)=(2,1); (1,2)$

$\Rightarrow (x,y)=(3,2); (2,3)$.

Nếu $x=3; y=2$ thì: $6=6z\Rightarrow z=1$

Nếu $x=2; y=3$ thì $z=1$

Vậy $(x,y,z)=(1,2,2); (1,1,3); (2,1,2); (3,2,1); (2,3,1)$

Answer 2

2. 

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$|x-1|+|x-3|=|x-1|+|3-x|\geq |x-1+3-x|=2$

$\Rightarrow P=|x-1|+|x-2|+|x-3|\geq 2+|x-2|\geq 2$

Vậy GTNN của $P$ là $2$. Giá trị này đạt tại \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(3-x)\geq 0\\ x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2\)