Question

1) Rút gọn M = \(\left(\frac{x+\sqrt{y}+\sqrt{xy}-1}{\sqrt{x}+1}+1\right).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\) ( với x≥0 ; y≥0)

2) Cho pt : x² - 2 (m -1)x + m - 5 = 0 ( với x là ẩn và m là tham số )

a) giải pt khi m = 2

b) chứng minh phương trình luôn có 2 nghiện phân biệt x₁ , x₂ với mọi giá trị của m . Tìm m để biểu thức P = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

\(M=\left(\frac{x-1+\sqrt{xy}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+1}+1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}+1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\right)}{\sqrt{x}+1}+1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1+1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=x-y\)

Câu 2:

a/ Bạn tự giải

b/ \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m+5=m^2-3m+6=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)

Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2-2\left(m-5\right)\)

\(=4m^2-10m+14\)

\(=\left(2m-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{31}{4}\ge\frac{31}{4}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{31}{4}\) khi \(2m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}\)