Question

1. Chứng minh rằng nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

2. Chứng minh rằng nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

Answer 1

1) Gọi hai số đỏ là x+n và x-n [tổng luôn bằng 2x].

Ta có: \(\left(x+n\right)\left(x-n\right)=x^2-n^2\le x^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow n^2=0\) , nghĩa là 2 số bằng nhau (điều phải chứng minh).

2) Gọi hai số đó là x và y [tích là xy]

Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Vì x,y > 0 nên x + y nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow x=y\) (điều phải chứng minh)