\(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2+1>0\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m+1\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với điều kiện đề bài ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m+1\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_2=-2m\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-m\\x_1=-m+1\end{matrix}\right.\)
Mà \(x_1x_2=-m\Leftrightarrow-m\left(-m+1\right)=-m\)
\(\Leftrightarrow m^2=0\Rightarrow m=0\)
\(A=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-8x_1x_2\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2\)
\(A=\left(1-2m\right)^2+8m\)
\(A=4m^2+4m+1=\left(2m+1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow A_{min}=0\) khi \(m=-\frac{1}{2}\)
a)
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot\left(-m\right)=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1>0\)
=> PT có hai nghiệm pb với mọi m
b)
Theo Vi-ét
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-2m\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)
\(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2+1=1\Leftrightarrow m=0\)
Vậy m = 0 thỏa mãn đề bài
c) \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-10x_1x_2=\left(2m-1\right)^2-10\cdot\left(-m\right)=4m^2-4m+1+10m\)
\(=4m^2+6m+1=4\left(m^2+\frac{3}{2}m+\frac{9}{16}\right)-\frac{5}{4}=4\left(m+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\frac{3}{4}\)
