Question

1) Cho P=\(\frac{a+1}{a-1}\) . CMR: Nếu P là số nguyên tố và a là số nguyên thì a cũng là số nguyên tố

2) Giải phương trình : \(x^6\sqrt{x+8}=3x^6-2019x+2019\)

3) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : \(x^2+y^2-3x-3y+xy+3=0\)

Help me!

Answer 1

\(p=\frac{a-1+2}{a-1}=1+\frac{2}{a-1}\)

Để p là SNT thì trước hết p là số tự nhiên \(\Rightarrow\frac{2}{a-1}\in N\Rightarrow a-1=Ư\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow a=\left\{-1;0;2;3\right\}\)

Thay a vào biểu thức ban đầu thì chỉ \(a=\left\{2;3\right\}\) thỏa mãn, mà \(\left\{2;3\right\}\) đều là số nguyên tố nên a là SNT

2/ ĐKXĐ:...

\(\Leftrightarrow x^6\left(\sqrt{x+8}-3\right)+2019\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6\left(x-1\right)}{\sqrt{x+8}+3}+2019\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{x^6}{\sqrt{x+8}+3}+2019\right)=0\)

\(\Rightarrow x=1\) (ngoạc phía sau luôn dương)

Answer 2

3/

\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-3y+3=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x, tham số y, để pt có nghiệm x nguyên thì \(\Delta\) không âm và là số chính phương

\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-3y+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3y^2+6y-3\ge0\Leftrightarrow-3\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow y=1\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)

Vậy pt có cặp nghiệm nguyên duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)