1. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Trên cung nhỏ AB của (O) lấy điểm E (E không trùng với A và B). Gọi H là giao điểm của AE và BC, F là giao điểm của AB và CE.
a, Chứng minh tứ giác FBHE nội tiếp.
b, Chứng minh \(\widehat{FHA}=\widehat{ADE}\)
c, Gọi K là giao điểm của AE và DC. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác FBE tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KED.
2. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+2c^2=a+b+2c\). Chứng minh: \(c\left(a+b+c-2\right)\le1\).
3. Để trồng kín cỏ một sân vận động hai lớp 9A và 9B phải làm cùng nhau trong 5 giờ 50 thì hoàn thành. Nếu làm riêng để trồng kín cỏ sân vận động trên lớp 9A làm nhanh hơn lớp 9B là 4 giờ. Biết trong quá trình trồng cỏ các lớp đều làm liên tục không nghỉ cho đến khi hoàn thành. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi lớp phải làm xong việc trong bao lâu?
Help me mk đang cần gấp ạ
Bài 1:
a)
\(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}=90^0\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\(\Rightarrow \widehat{HEF}=180^0-\widehat{AEC}=90^0\)
Ta cũng có \(\widehat{HBF}=180^0-\widehat{ABC}=90^0\)
Xét tứ giác $FBHE$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{HEF}+\widehat{HBF}=90^0+90^0=180^0\) nên $FBHE$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Vì $FBHE$ nội tiếp nên:
\(\widehat{FHA}=\widehat{FHE}=\widehat{EBF}=\widehat{EBA}\)
Mà: \(\widehat{EBA}=\widehat{ADE}\) (góc nt cùng chắn cung AE)
\(\Rightarrow \widehat{FHA}=\widehat{ADE}\)
3.
Theo phần b \(\widehat{FHA}=\widehat{EBA}\);
Mà \(\widehat{EBA}=\widehat{ECA}=\widehat{ECO}\) (góc nt chắn cung EA)
\(=\widehat{CEO}\) (do tam giác $OCE$ cân tại $O$)
\(\Rightarrow \widehat{FHA}=\widehat{CEO}\). Do đó $OE$ là tiếp tuyến của $(FBE)$
Lại có:
\(\widehat{EKD}=90^0-\widehat{ECK}=90^0-\frac{\widehat{DOE}}{2}\) (góc nt chắn 1 cung thì bằng một nửa góc ở tâm chắn cung đó)
\(=\frac{180^0-\widehat{DOE}}{2}=\widehat{OED}\) (tính chất tam giác cân)
\(\Rightarrow OE\) là tiếp tuyến $(DKE)$
Vậy $OE$ là tiếp tuyến chung của $(DKE)$ và $(FBE)$. Mà $E$ thuộc cả 2 đường tròn nên $(DKE)$ và $(FBE)$ tiếp xúc nhau.
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a+b+2c)(1+1+2)=(a^2+b^2+2c^2)(1+1+2)\geq (a+b+2c)^2\)
\(\Rightarrow 4(a+b+2c)\geq (a+b+2c)^2\Rightarrow 4\geq a+b+2c\)
\(\Rightarrow a+b+c\leq 4-c\)
\(\Rightarrow c(a+b+c-2)\leq c(4-c)-2c=2c-c^2\)
Mà: \(2c-c^2=1-(c-1)^2\leq 1, \forall c>0\Rightarrow c(a+b+c-2)\leq 1\)
Ta có đpcm.
Bài 3:
Giả sử khi làm riêng thì lớp 9A và 9B mất lần lượt $a$ và $b$ (giờ) để hoàn thành công việc $(0< a< b; b>4)$
Do đó:
Trong 1 giờ lớp 9A hoàn thành $\frac{1}{a}$ công việc
Trong 1 giờ lớp 9B hoàn thành $\frac{1}{b}$ công việc
Theo bài ra: \(\left\{\begin{matrix} \frac{35}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=1\\ a=b-4\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=10\\ b=14\end{matrix}\right.\)
