Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ánh Dương

1. Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)và a+b+c=3. Tính \(M=a^{2016}+2015b^{2015}+2020c\)

2. cho x>Y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

Akai Haruma
31 tháng 3 2019 lúc 21:41

Bài 1:

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)

\((a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\). Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì \((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\).

Kết hợp với $a+b+c=3$ suy ra $a=b=c=1$

Do đó:

\(M=a^{2016}+2015b^{2015}+2020c=1+2015+2020=4036\)

Akai Haruma
31 tháng 3 2019 lúc 21:44

Bài 2:

Xét hiệu:

\(\frac{x-y}{x+y}-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=(x-y)\left(\frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{x^2+y^2}\right)\)

\(=(x-y).\frac{x^2+y^2-(x+y)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{(x-y)(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2)}{(x^2+y^2)(x+y)}\)

\(=\frac{-2xy(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}\)

\(x>y>0\Rightarrow -2xy(x-y)< 0; (x^2+y^2)(x+y)>0\)

\(\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{-2xy(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}< 0\)

\(\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
vũ quỳnh trang
Xem chi tiết
Khánh Huyền
Xem chi tiết
nhung đỗ
Xem chi tiết
Lâm Hoàng Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Huyền Minh Lam Nguyệt
Xem chi tiết
Mai Thành Đạt
Xem chi tiết
lilla
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Phúc Anh
Xem chi tiết
Trân Nari
Xem chi tiết