a.
BD là tiếp tuyến của (O) tại B \(\Rightarrow\widehat{OBD}=90^0\)
\(\Rightarrow\) 3 điểm O, B, D thuộc đường tròn đường kính OD (1)
AD là tiếp tuyến của (O) tại A \(\Rightarrow\widehat{OAD}=90^0\)
\(\Rightarrow\) 3 điểm O, A, D cùng thuộc đường tròn đường kính OD (2)
(1);(2)\(\Rightarrow\) 4 điểm A, D, B, O cùng thuộc 1 đường tròn
b.
Theo cmt ta có tam giác CBE vuông tại B và BA là đường cao ứng với cạnh huyền
Áp dụng hệ thức lượng:
\(CA.CE=CB^2\Rightarrow CA.CE=\left(2R\right)^2=4R^2\)
c.
D là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B \(\Rightarrow AD=BD\)
Đồng thời \(OA=OB=R\)
\(\Rightarrow OD\) là trung trực của AB
\(\Rightarrow OD\perp AB\) tại K đồng thời K là trung điểm AB
Mà \(AB\perp AC\) (\(\widehat{BAC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow OK||AC\) hay \(OD||CE\)
Lại có O là trung điểm BC
\(\Rightarrow OD\) là đường trung bình tam giác BCE (đường thẳng đi qua 1 trung điểm và song song cạnh đáy)
\(\Rightarrow D\) là trung điểm BE \(\Rightarrow BD=DE\)
Trong tam giác ABH vuông tại H có KH là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow KH=\dfrac{1}{2}AB=AK\)
Trong tam giác ACH vuông tại H có IH là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}AC=AI\)
Xét 2 tam giác KAI và KHI có: \(\left\{{}\begin{matrix}AK=KH\\AI=IH\\IK\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta KAI=\Delta KHI\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KHI}=\widehat{KAC}=90^0\Rightarrow IH\perp KH\)
Mà tam giác ABH vuông tại H có K là trung điểm cạnh huyền \(\Rightarrow K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABH hay KH là 1 bán kính
\(\Rightarrow IH\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABH
Do AH và BE cùng vuông góc AB \(\Rightarrow AH||BE\)
Gọi F là giao điểm của CD và AH
Áp đụng định lý Thales trong tam giác BCD: \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{HF}{BD}\)
Áp dụng định lý Thales trong tam giác CDE: \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{AF}{DE}\)
\(\Rightarrow\dfrac{HF}{BD}=\dfrac{AF}{DE}\Rightarrow HF=AF\) (do \(BD=DE\) theo cmt)
\(\Rightarrow F\) là trung điểm AH
OI vuông góc AC tại I \(\Rightarrow I\) là trung điểm AC
Trong tam giác ABC: K là trung điểm AB, I là trung điểm AC \(\Rightarrow KI\) là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow KI||BC\)
Trong tam giác ABH: K là trung điểm AB, F là trung điểm AH \(\Rightarrow KF\) là đường trung bình \(\Delta ABH\Rightarrow KF||BH\Rightarrow KF||BC\)
\(\Rightarrow I,K,F\) thẳng hàng hay KI đi qua F
\(\Rightarrow AH,KI,CD\) đồng quy tại F
